Question

如圖，已知點P為∠AOB的角平分線上的一點，點D在邊OA上．愛動腦筋的小剛經過仔細觀察后，進行如下操作：在邊OB上取一點E，使得PE=PD，這時他發現∠OEP與∠ODP之間有一定的相等關系，請你寫出∠OEP與∠ODP所有可能的數量關系

∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°

．

Answer 1

分析：數量關系是∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，理由是以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OB于E₂，連接PE₂，根據SAS證△E₂OP≌△DOP，推出E₂P=PD，得出此時點E₂符合條件，此時∠OE₂P=∠ODP；以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OB于另一點E₁，連接PE₁，根據等腰三角形性質推出∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，求出∠OE₁P+∠ODP=180°即可．

解答：解：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，
理由是：以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OB于E₂，連接PE₂，
∵在△E₂OP和△DOP中

OE2=OD ∠E2OP=∠DOP OP=OP

，
∴△E₂OP≌△DOP（SAS），
∴E₂P=PD，
即此時點E₂符合條件，此時∠OE₂P=∠ODP；
以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OB于另一點E₁，連接PE₁，
則此點E₁也符合條件PD=PE₁，
∵PE₂=PE₁=PD，
∴∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，
∵∠OE₁P+∠E₂E₁P=180°，
∵∠OE₂P=∠ODP，
∴∠OE₁P+∠ODP=180°，
∴∠OEP與∠ODP所有可能的數量關系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，
故答案為：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生的猜想能力和分析問題和解決問題的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．