Question

22、如圖，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．證明：β=2α

Answer 1

分析：此題的關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn)，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，得出∠A+∠E=180°，∠B+∠C+∠D=360°，即可證明．

解答：證法1：∵AB∥ED，
∴α=∠A+∠E=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）
過(guò)C作CF∥AB（如圖1）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行）
∵CF∥AB，
∴∠B=∠1，（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又∵CF∥ED，
∴∠2=∠D，（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∴β=∠B+∠C+∠D=∠1+∠BCD+∠2=360°（周角定義）
∴β=2α（等量代換）
證法2：∵AB∥ED，
∴α=∠A+∠E=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）
過(guò)C作CF∥AB（如圖2）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行）
∵CF∥AB，
∴∠B+∠1=180°，（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）
又∵CF∥ED，
∴∠2+∠D=180°，（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）
∴β=∠B+∠C+∠D=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°，
∴β=2α（等量代換）

點(diǎn)評(píng)：此題考查平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，輔助線(xiàn)的作法很關(guān)鍵，也是常見(jiàn)作法，需掌握．