Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．點D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，連接DE、DF，動點P，Q分別從點A、B同時出發，運動速度均為1cm/s，點P沿AFD的方向運動到點D停止；點Q沿BC的方向運動，當點P停止運動時，點Q也停止運動．在運動過程中，過點Q作BC的垂線交AB于點M，以點P，M，Q為頂點作平行四邊形PMQN．設平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y（cm²）（這里規定線段是面積為0的幾何圖形），點P運動的時間為x（s）

（1）當點P運動到點F時，CQ=　  　cm；

（2）在點P從點F運動到點D的過程中，某一時刻，點P落在MQ上，求此時BQ的長度；

（3）當點P在線段FD上運動時，求y與x之間的函數關系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）5。

（2）（cm）。

（3）。

【解析】

試題分析：（1）當點P運動到點F時，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，即可求出答案。

（2）根據在點P從點F運動到點D的過程中，點P落在MQ上得出方程t+t﹣3=8，求出即可。

（3）求出DE=AC=3，DF=BC=4，證△MBQ∽△ABC，求出MQ=，分為三種情況：①當3≤x＜4時，重疊部分圖形為平行四邊形，根據y=PN•PD代入求出即可；②當4≤x＜時，重疊部分為矩形，根據圖形得出；③當≤x≤7時，重疊部分圖形為矩形，根據圖形得出，求出即可。　

解：（1）當點P運動到點F時，

∵F為AC的中點，AC=6cm，∴AF=FC=3cm。

∵P和Q的運動速度都是1cm/s，∴BQ=AF=3cm。

∴CQ=8cm﹣3cm=5cm。

（2）設在點P從點F運動到點D的過程中，點P落在MQ上，如圖，

則t+t﹣3=8，∴t=。

∴BQ的長度為×1=（cm）。

（3）∵D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，

∴DE=AC=×6=3，DF=BC=×8=4。

∵MQ⊥BC，∴∠BQM=∠C=90°。

∵∠QBM=∠CBA，∴△MBQ∽△ABC。

∴，即。∴MQ=。

分為三種情況討論：

①當3≤x＜4時，重疊部分圖形為平行四邊形，如圖，

y=PN•PD=（7﹣x），

即。

②當4≤x＜時，重疊部分為矩形，如圖，

，

即y=﹣6x+33。

③當≤x≤7時，重疊部分圖形為矩形，如圖，

，

即y=6x﹣33。

綜上所述，當點P在線段FD上運動時， y與x之間的函數關系式為。