Question

在平面直角坐標系中，已知點A（a，0），C（0，b）滿足（a+1）2+=0

（1）直接寫出：a= -1，b= -3；

（2）點B為x軸正半軸上一點，如圖1，BE⊥AC于點E，交y軸于點D，連接OE，若OE平分∠AEB，求直線BE的解析式；

（3）在（2）條件下，點M為直線BE上一動點，連OM，將線段OM逆時針旋轉90°，如圖2，點O的對應點為N，當點M的運動軌跡是一條直線l，請你求出這條直線l的解析式．

 

Answer 1

(1) a=-1，b=-3．(2) ；(3) ．

【解析】

試題分析：（1）根據非負數是性質來求a、b的值；

（2）如圖1，過點O作OF⊥OE，交BE于F．構建全等三角形：△EOC≌△FOB（ASA），△AOC≌△DOB（ASA），易求D（0，-1），B（3，0）．利用待定系數法求得直線BE的解析式；

（3）如圖2，過點M作MG⊥x軸，垂足為G，過點N作NH⊥GH，垂足為H．構建全等三角形：△GOM≌△HMN，故OG=MH，GM=NH．設M（m，），則H（m，），N（，），由此求得點N的橫縱坐標間的函數關系．

試題解析：（1）依題意得 a+1=0，b+3=0，

解得 a=-1，b=-3．

（2）如圖，過點O作OF⊥OE，交BE于F．

∵BE⊥AC，OE平分∠AEB，

∴△EOF為等腰直角三角形．

∵在△EOC與△FOB中，

，

∴△EOC≌△FOB（ASA），

∴OB=OC．

∴在△AOC與△DOB中，

，

∴△AOC≌△DOB（ASA），

∴OA=OD，

∵A（-1，0），B（0，-3），∴D（0，-1），B（3，0）

∴直線BD，即直線BE的解析式；

（3）依題意，△NOM為等腰Rt△，

如圖，過點M作MG⊥x軸，垂足為G，過點N作NH⊥GH，垂足為H，

∵△NOM為等腰Rt△，

則易證△GOM≌△HMN，

∴OG=MH，GM=NH，

由（2）知直線BD的解析式

設M（m，），則H（m，），N（，），

令，，

消去參數m得，

即直線l的解析式為．

考點：一次函數綜合題．