Question

如圖，P、Q是矩形ABCD的邊BC和CD延長上的兩點(diǎn)，AP與CQ相交于點(diǎn)E，且∠PAD=∠QAD，則①DQ=DE；②∠BAP=∠AQE；③AQ⊥PQ；④EQ=2CP；⑤S_△APQ=S_矩形ABCD．下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）

A．①②⑤
B．①③⑤
C．①②④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：由四邊形ABCD是矩形，易證得△ADQ≌△ADE，即可得DQ=DE；利用等角的余角相等，可得∠BAP=∠AQE正確，又因?yàn)椤螦QD不一定等于∠PQC，故AQ⊥PQ不能確定，DQ與CP的值沒法確定，EQ=2CP不一定正確；易證得△ADE∽△PCE，即可得DE•PC=EC•AD，即可得S_△APQ=S_矩形ABCD．
解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADQ=∠ADE=90°，
在△ADQ和△ADE中，
∵，
∴△ADQ≌△ADE（ASA），
∴DQ=DE；故①正確；
∵∠BAP+∠PAD=∠AQE+∠QAD=90°，∠PAD=∠QAD，
∴∠BAP=∠AQE，故②正確；
∵當(dāng)∠AQD=∠PQC時(shí)，可得∠AQP=90°，
∴此兩角的值不能確定，故③錯(cuò)誤；
∵DQ=DE，
∴EQ=2DQ，
∵DQ與CP不一定相等，故④錯(cuò)誤；
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠CPE，
∵∠AED=∠PEC，
∴△ADE∽△PCE，
∴AD：PC=DE：CE，
∴DE•PC=EC•AD，
∵S_△APQ=S_△AEQ+S_△PEQ=QE•AD+QE•PC=DE•AD+DE•PC
S_矩形ABCD=S_△ADE+S_{四邊形ABCE}=DE•AD+（EC+AB）•BC=DE•AD+（DE+2EC）•AD=DE•AD+DE•AD+EC•AD=DE•AD+EC•AD，
∴S_△APQ=S_矩形ABCD．故⑤正確．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積的求解方法．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．