Question

如圖，直角梯形OABC的直角頂點是坐標原點，邊OA，OC分別在X軸，y軸的正半軸上．OA∥BC，D是BC上一點，BD=

1

4

OA=

2

，AB=3，∠OAB=45°，E，F分別是線段OA，AB上的兩個動點，且始終保持∠DEF=45°，如果△AEF是等腰三角形時．將△AEF沿EF對折得△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為

17

8

或1或

41 2 -48

4

．

Answer 1

分析：若△AEF是等腰三角形，應分三種情況討論：
①AF=EF，此時△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延長線上，重合部分是四邊形EDBF，其面積可由梯形ABDE與△AEF的面積差求得；
②AE=EF，此時△AEF是等腰Rt△，且E是直角頂點，此時重合部分即為△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四邊形AEDB是平行四邊形，則AE=BD，進而可求得重合部分的面積；
③AF=AE，此時四邊形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由△ODE∽△AEF，那么此時OD=OE=3，由此可求得AE、AF的長，過F作x軸的垂線，即可求出△AEF中AE邊上的高，進而可求得△AEF（即△A′EF）的面積．

解答：解：當△AEF為等腰三角形時，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3種情況；
①當EF=AF時，如圖（1），

∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF為等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
B在A′F上（A′F⊥EF），
∴△A′EF與五邊形OEFBC重疊的面積為四邊形EFBD的面積；
∵AE=OA-OE=OA-CD=4

2

-

3

2

2

=

5

2

2

，
∴AF=AE•sin45°=

5 2

2

×

2

2

=

5

2

，
S_△AEF=

1

2

EF×AF=

1

2

×（

5

2

）²=

25

8

，
∴S_梯形AEDB=

1

2

（BD+AE）•DE=

1

2

×（

2

+

5 2

2

）×

3 2

2

=

21

4

，
∴S_{四邊形BDEF}=S_梯形AEDB-S_△AEF=

21

4

-

25

8

=

17

8

；
（也可用S_陰影=S_△A'EF-S_△A'BD），
②當EF=AE時，如圖（2），

此時△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A′EF面積．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，
∴四邊形DEAB是平行四邊形
∴AE=DB=

2

，
∴S_△A′EF=S_△AEF=

1

2

×（

2

）²=1；
③當AF=AE時，如圖（3），

四邊形AEA′F為菱形且△A′EF在五邊形OEFBC內．
∴此時△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A′EF面積．
易得△ODE∽△AEF，則OD=OE=3，
∴AE=AF=OA-OE=4

2

-3，
過F作FH⊥AE于H，則FH=AF•sin45°=（4

2

-3）×

2

2

=4-

3 2

2

，
∴S_△A′EF=S_△AEF=

1

2

AE•FH=

1

2

×（4

2

-3）•（4-

3 2

2

）=

41 2 -48

4

，
綜上所述，△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為

17

8

或1或

41 2 -48

4

．
故答案為：

17

8

或1或

41 2 -48

4

．

點評：此題考查了四邊形綜合題，涉及了梯形、平行四邊形、等腰三角形的性質，以及相似三角形的判定和性質，難度較大，注意分類討論思想的運用．