Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，點D是AB邊的中點，且∠BAC+∠DCB=90°．試判斷△ABC的形狀并證明．

Answer 1

解：（1）當AB不過圓心O時，△ABC為等腰三角形．
延長CD交⊙O于點E，
∵∠BAC+∠DCB=90°，
∴弧CB與弧BE的度數之和等于180°．
∴CE為⊙O的直徑．
∵點D是AB的中點，
∴CE⊥AB于點D．
∴AC=BC．
∴△ABC為等腰三角形；

（2）當AB經過圓心O時，△ABC為等腰直角三角形．
同（1）可證△ABC為等腰直角三角形，
又∵AB經過圓心，即AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴△ABC為等腰直角三角形．
分析：分情況進行討論，（1）當AB不過圓心O時：首先延長CD交⊙O于點E，根據已知推出CE為圓的直徑，即可推出AC=BC，即△ABC為等腰三角形．（2）當AB經過圓心O時，在（1）的論證基礎上，即可推出△ABC為等腰直角三角形．
點評：本題主要考查圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的判定，關鍵在于根據題意正確地作出輔助線，然后求證CE為⊙O的直徑．