Question

觀察下列一組式子的變形過(guò)程，然后回答問(wèn)題：

1

2 +1

=

2

-1，

1

3 + 2

=

3

-

2

，

1

4 + 3

=

4

-

3

，

1

5 + 4

=

5

-

4

…
（1）請(qǐng)你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律．并證明你的結(jié)論．
（2）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值：(

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2008 + 2007

)•(

2008

+1)．

Answer 1

分析：（1）本題是一道規(guī)律題，很容易發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個(gè)實(shí)數(shù)的和倒數(shù)就是這兩個(gè)相鄰實(shí)數(shù)的差．從而求出其值．
（2）利用（1）的結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后運(yùn)用平方差公式計(jì)算就可以了．

解答：解：（1）∵

1

2 +1

=

2

-1，

1

3 + 2

=

3

-

2

，

1

4 + 3

=

4

-

3

，

1

5 + 4

=

5

-

4

…
∴第n的一個(gè)式子可以表示為：

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

（n≥1的整數(shù)）．
證明：∵

1

n+1 + n

=

n+1 - n

( n+1 + n )( n+1 - n )

=

n+1 - n

n+1-n

=

n+1

-

n

．
∴

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

（n≥1的整數(shù)）．
（2）原式=[（

2

-1）+（

3

-

2

）+（

4

-

3

）+…+（

2008

-

2007

）]（

2008

+1）
=[

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2008

-

2007

]（

2008

+1）
=[

2008

-1]（

2008

+1）
=2007．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分母有理化的運(yùn)用，平方差公式的運(yùn)用，在解答中注意觀察題目的變化規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律解答能使運(yùn)算簡(jiǎn)便，并且得心應(yīng)手．