Question

【題目】如本題圖①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．過點A作BC的平行線與∠ABC的平分線交于點D，連接CD．

（1）求∠ACD的大小；

（2）在線段CD的延長線上取一點F，以FD為角的一邊作∠DFE=α，另一邊交BD延長線于點E，若FD=kAD（如本題圖②所示），試求的值（用含k的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）∠ACD=90°﹣；（2）=k2.

【解析】試題分析：（1）由∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，得到∠1=∠2=，AB=AC，因為AD∥BC，推出∠2=∠3，得到∠3=∠1=，得到AB=AD．AC=AD=AB．于是得到∠ACD=∠ADC=，根據AD∥BC，∠CAD=ACB=α，得出結論∠ACD=∠ADC==90°﹣．

（2）過A作AH⊥BC于點H，得到∠AHB=90°．證出∠BAH=90°﹣α，因為AD∥BC，得出∠BDC+∠ADC=180°，然后證得對應角相等，得到相似三角形，根據相似三角形的性質得比例式求得結果．

試題解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=，AB=AC，

∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠3=∠1=，∴AB=AD．

∴AC=AD=AB．∴∠ACD=∠ADC=，

又∵AD∥BC，∴∠CAD=ACB=α，

∴∠ACD=∠ADC==90°﹣；

（2）過A作AH⊥BC于點H，則∠AHB=90°．

∴∠BAH=90°﹣α，

∵AD∥BC，∴∠BDC+∠ADC=180°，即：∠BCA+∠ACD+∠CDB+∠3=180°，

由∠ACB=α，∠ACD=90°﹣，∠3=，

得：∠CDB=180°﹣α﹣（90°﹣）﹣=90°﹣α．

∴∠FDE=∠CDB=90°﹣α，∴∠BAH=∠FDE，∵∠ABH=∠DFE=α，

∴△ABH∽△DEF，

∵FD=kAD，AB=AD，∴S△DEF=k2S△BAH，

∵AD∥BC，∴S△BCD=S△ABC=2S△BAH，∴=k2，