Question

如圖，AB，BC分別是⊙O的直徑和弦，點D為上一點，弦DE交⊙O于點E，交AB于點F，交BC于點G，過點C的切線交ED的延長線于H，且HC=HG，連接BH，交⊙O于點M，連接MD，ME．
求證：
（1）DE⊥AB；
（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，證明∠BFG=∠OCH=90°即可；
（2）連接BE，證明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．
解答：證明：（1）連接OC，
∵HC=HG，
∴∠HCG=∠HGC；（1分）
∵HC切⊙O于C點，
∴∠OCB+∠HCG=90°；（2分）
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，（3分）
∵∠HGC=∠BGF，
∴∠OBC+∠BGF=90°，（4分）
∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；（5分）

（2）連接BE，
由（1）知DE⊥AB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴，（6分）
∴∠BED=∠BME；（7分）
∵四邊形BMDE內接于⊙O，
∴∠HMD=∠BED，（8分）
∴∠HMD=∠BME；
∵∠BME是△HEM的外角，
∴∠BME=∠MHE+∠MEH，（9分）
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．（10分）
點評：此題綜合性較強，主要考查了切線的性質、三角形的內角和外角的性質、等腰三角形的性質、內接四邊形的性質．