Question

已知關(guān)于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
（1）求證：無論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）若等腰△ABC的一邊長a=1，另兩邊長b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長？（9分）

Answer 1

分析：（1）先計(jì)算△，化簡得到△=（2k-3）²，易得△≥0，然后根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）利用求根公式計(jì)算出方程的兩根x₁=2k-1，x₂=2，則可設(shè)b=2k-1，c=2，然后討論：當(dāng)a、b為腰；當(dāng)b、c為腰，
分別求出邊長，但要滿足三角形三邊的關(guān)系，最后計(jì)算周長．

解答：（1）證明：△=（2k+1）²-4×1×4（k-

1

2

）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵無論k取什么實(shí)數(shù)值，（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以無論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）∵x=

2k+1±(2k-3)

2

，
∴x₁=2k-1，x₂=2，
∵b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)b=2k-1，c=2，
當(dāng)a、b為腰，則a=b=1，而a+b=c，所以這種情況不成立，
當(dāng)b、c為腰，則2k-1=2，解得k=

3

2

，
此時(shí)三角形的周長=2+2+1=5．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．