Question

正方形ABCD的邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AM⊥MN．當BM=    時，四邊形ABCN的面積最大．

Answer 1

【答案】分析：設BM=x，則MC=4-x，當AM⊥MN時，利用互余關系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數的性質求面積的最大值．
解答：解：設BM=x，則MC=4-x，
∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，則=，即=，
解得CN=，
∴S_{四邊形ABCN}=×4×[4+]=-x²+2x+8，
∵-＜0，
∴當x=-=-=2時，S_{四邊形ABCN}最大．
故答案為：2．
點評：本題考查了二次函數的性質的運用．關鍵是根據已知條件判斷相似三角形，利用相似比求函數關系式．