Question

如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．連結對角線AC，以AC為邊作第一個菱形ACC₁D₁，使∠D₁ AC=60°；連結AC₁，再以AC₁為邊作第二個菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，再以AC₂為邊作第三個菱形AC₂C₃D₃，使∠D₃AC₂=60°；…，依此類推．
（1）求第一個菱形ACC₁D₁的邊AD₁長是多少？請說明理由．
（2）求第三個菱形AC₂C₃D₃的邊AD₃長是多少？請說明理由．
（3）按此規律請直接寫出第n個菱形的邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，與AC相交于O，根據菱形的對角線互相垂直平分可得AC⊥BD，AC=2AO，對角線平分一組對角可得∠BAC=30°，然后解直角三角形求出AO，即可得到第一個菱形的邊長；
（2）同理求出第二個菱形的邊長，第三個菱形的邊長；
（3）根據求解，后一個菱形的邊長是前一個菱形的對角線，即后一個菱形的邊長是前一個菱形的邊長的倍，寫出即可．
解答：解：（1）如圖，連接BD，與AC相交于O，
則AC⊥BD，AC=2AO，
∵∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠DAB=×60°=30°，
∵AB=1，
∴AO=1×=，
∴AC=2AO=2×=，
故第一個菱形ACC₁D₁的邊AD₁長是；

（2）同理可求，第二個菱形AC₁C₂D₂的邊AD₂長是×=3，
第三個菱形AC₂C₃D₃的邊AD₃長是3；

（3）第n個菱形的邊長是（）ⁿ．
點評：本題考查了菱形的性質，解直角三角形，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分，對角線平分一組對角的性質，熟記性質并作出輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．