Question

如圖，在半徑為5的⊙O中，點A、B在⊙O中，∠AOB=90°，點C是的一個動點，AC與OB的延長線相交于點D，設AC=x，BD=y．
（1）當x=2時，求y的值；
（2）求y關于x的函數解析式；
（3）如果⊙O₁與⊙O相交于點A、C，且⊙O₁與⊙O的圓心距為2，當BD=OB時，求⊙O₁的半徑；
（4）是否存在點C，使得CD²=DB•DO成立，如果存在，請證明；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E．通過證明△ODE∽△AOE求得=，然后將相關線段的長度代入求得y的值；
（2）過⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E．通過證明△ODE∽△AOE求得=，然后將相關線段的長度代入求得y關于x的函數解析式，再由函數的性質求其定義域；
（3）當BD=OB時，根據（1）的函數關系式求得y=，x=6．分兩種情況來解答O₁A的值①當點O₁在線段OE上時，O₁E=OE-OO₁=2；②當點O₁在線段EO的延長線上時，O₁E=OE+OO₁=6，進而求出即可；
（4）當點C為AB的中點時，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB==67.5°，然后由三角形的內角和定理求得∠DCB=45°，由等量代換求得∠DCB=∠BOC．根據相似三角形的判定定理AA證明△DCB∽△DOC．
解答：（1）解：如圖1，過⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E，
∴AE=AC=1，OE==2．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴=，
∵OD=y+5，
∴=，
解得：y=10-5；

（2）解：如圖1，過⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E，
∴AE=AC=x，OE==．
∵∠DEO=∠AOB=90°，
∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴=，
∵OD=y+5，
∴=．
∴y關于x的函數解析式為：
y=，定義域為：0＜x＜5．

（3）解：如圖2，當BD=OB時，
則y=，
即=，
∴解得：x=6．
∴AE=x=3，OE==4．
當點O₁在線段OE上時，
O₁E=OE-OO₁=2，
O₁A===．
當點O₁在線段EO的延長線上時，O₁E=OE+OO₁=6，
O₁A===．
∴⊙O₁的半徑為或3．

（4）存在，當點C為的中點時，△DCB∽△DOC．
證明：∵當點C為的中點時，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，
∴∠OCA=∠OCB==67.5°，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．
又∵∠D=∠D，
∴△DCB∽△DOC．
∴存在點C，使得△DCB∽△DOC．
點評：本題主要考查了圓與圓的位置關系、勾股定理．此題很復雜，解答此題的關鍵是作出輔助線OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性質解答，解答（3）時注意分兩種情況討論，不要漏解．