Question

如圖1，在直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以OA為邊在第四象限內作等邊△AOB，點C為x軸的正半軸上一動點（OC＞1），連接BC，以BC為邊在第四象限內作等邊△CBD，直線DA交y軸于點E．
（1）試問△OBC與△ABD全等嗎？并證明你的結論；
（2）隨著點C位置的變化，點E的位置是否會發生變化？若沒有變化，求出點E的坐標；若有變化，請說明理由；
（3）如圖2，以OC為直徑作圓，與直線DE分別交于點F、G，設AC=m，AF=n，用含n的代數式表示m．

Answer 1

分析：（1）由等邊三角形的性質知，OBA=∠CBD=60°，易得∠OBC=∠ABD，又有OB=AB，BC=BD故有△OBC≌△ABD；
（2）由1知，△OBC≌△ABD?∠BAD=∠BOC=60°，可得∠OAE=60°，在Rt△EOA中，有EO=OA•tan60°=

3

，即可求得點E的坐標；
（3）由相交弦定理知1•m=n•AG，即AG=

m

n

，由切割線定理知，OE²=EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE=

3+1

=2，故建立方程：（

3

）²=（2-

m

n

）（2+n），就可求得m與n關系．

解答：解：（1）兩個三角形全等．
∵△AOB、△CBD都是等邊三角形，
∴OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD；
∵OB=AB，BC=BD，
△OBC≌△ABD；

（2）點E位置不變．
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
∠OAE=180°-60°-60°=60°；
在Rt△EOA中，EO=OA•tan60°=

3

，
或∠AEO=30°，得AE=2，
∴OE=

3

∴點E的坐標為（0，

3

）；

（3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1•m=n•AG，即AG=

m

n

；
又∵OC是直徑，
∴OE是圓的切線，OE²=EG•EF，
在Rt△EOA中，AE=

3+1

=2，
（

3

）²=（2-

m

n

）（2+n）
即2n²+n-2m-mn=0
解得m=

2n2+n

n+2

．

點評：命題立意：考查圓的相交弦定理、切線定理、三角形全等等知識，并且將這些知識與坐標系聯系在一起，考查綜合分析、解決問題的能力．