Question

如圖，在⊙O中，半徑OA⊥OB，C、D為弧AB的三等分點(diǎn)．弦AB分別交OC、OD于點(diǎn)E、F，下列結(jié)論：①∠AOC=30°；②CE=DF；③∠AEO=105°；④AE=EF=FB．其中正確的有

①②③

．

Answer 1

分析：先根據(jù)OA⊥OB可知∠AOB=90°，再由C、D為弧AB的三等分點(diǎn)可求出∠AOC的度數(shù)；由三角形內(nèi)角和定理求出∠OCD的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠OEF及∠OFE的度數(shù)，由此即可得出結(jié)論；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠AEO的度數(shù)；連接AC，BD，可得出CD=AE=BF，由②可知EF∥CD，所以EF＜CD，故可得出結(jié)論．

解答：解：∵在⊙O中，半徑OA⊥OB，C、D為弧AB的三等分點(diǎn)，
∴∠AOC=

1

3

∠AOB=

1

3

×90°=30°，故①正確；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴CE=DF，故②正確；
∵△AOE中，∠OAB=45°，∠AOC=30°，
∴∠AEO=180°-45°-30°=105°，故③正確；
連接AC，BD，
∵由②知，OC=OD，OE=OF，
∴EF∥CD，
∴EF＜CD，
∵C，D是

AB

的三等分點(diǎn)，
∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=

180°-30°

2

=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理等知識(shí)，難度適中．