Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，過點C作CC₁⊥AB于C₁，過點C₁作C₁C₂⊥AC于C₂，過點C₂作C₂C₃⊥AB于C₃…，按此作法進行下去，則=    （其中n≥2）．

Answer 1

【答案】分析：先在△ABC中由勾股定理求出AB=，根據正弦函數的定義得出sinB===，然后依次在△BC₁C、△C₂C₁C、△C₃C₂C₁、△C₄C₃C₂中，求出=sinB=；=sinB=；=sinB=；=sinB=；同理可得=sinB=．
解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB===，
∴sinB===．
在△BC₁C中，∵∠BC₁C=90°，
∴sinB==；
在△C₂C₁C中，∵∠C₁C₂C=90°，
∠C₁CC₂=90°-∠BCC₁=∠B，
∴sin∠C₁CC₂=sinB==；
在△C₃C₂C₁中，∵∠C₂C₃C₁=90°，C₁C₂∥BC，
∴∠C₃C₁C₂=∠B，
∴sin∠C₃C₁C₂=sinB==；
在△C₄C₃C₂中，∵∠C₃C₄C₂=90°，
∠C₄C₂C₃=90°-∠A=∠B，
∴sin∠C₄C₂C₃=sinB==；
同理可得
=sinB=．
故答案為．
點評：本題主要考查勾股定理，銳角三角函數，平行線、垂線的性質等知識點，關鍵在于熟練運用三角函數的定義得出sinB=，然后總結出規律．