Question

【題目】關于x的方程﹣x2+2（k﹣1）x﹣k2+1=0有兩個不相等的實數根．

（1）求k的取值范圍；

（2）當k為何值時，方程的兩個實數根的平方和等于16？

Answer 1

【答案】（1）k＜1；（2）k=﹣1時，方程的兩個實數根的平方和等于16．

【解析】

試題分析：（1）由于關于x的方程﹣x2+2（k﹣1）x﹣k2+1=0有兩個不相等的實數根，根據方程的判別式大于0，由此即可確定k的取值范圍；

（2）首先根據一元二次方程根與系數的關系得到兩根之和與兩根之積，然后把兩個實數根的平方和變換兩根之和與兩根之積相關的形式，由此即可得到關于k的方程，解方程就可以求出k的值．

解：（1）由題意得，△=（2（k﹣1））2﹣4（k2﹣1）=﹣8k+8＞0，

解得，k＜1，

故k的取值范圍：k＜1；

（2）設方程的兩根為x1，x2，

由x12+x22=（ x1+x2）2﹣2 x1x2=（2（k﹣1））2﹣2（k2﹣1）=2k2﹣8k+6=16，

解得，k=﹣1或5（舍去），

當k=﹣1時，方程的兩個實數根的平方和等于16．