Question

【題目】如圖，在中，，，.動點以每秒5個單位長度的速度從點出發，沿的方向向終點運動.點關于點的對稱點為，過點作于點，以、為邊作，設點的運動時間為.

（1）當點在上運動時，用含的代數式表示的長.

（2）當為菱形時，求的值.

（3）設的面積為，求與之間的函數關系式.

（4）作點關于直線的對稱點，當點落在內部時，直接寫出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）當時，；當時， ；（4）或.

【解析】

（1）先證△APQ∽△ABC，根據相似比可得出答案；

（2）當為菱形時，即PQ=2PC，分兩種情況討論：①點P在AC上時，②點P在BC上時，分別求解即可；

（3）分兩種情況討論即可：①當點P在AC上時，②當點P在BC上時，分別求出的高即可解決問題；

（4）分兩種情況討論即可：①當點P在AC上時，②當點P在BC上時，找到兩種情況的臨界值即可.

解：（1）∵，，，

∴根據勾股定理有，

∵動點以每秒5個單位長度的速度從點出發，

∴AP=5t，

∵PQ⊥AB，

∴∠AQP=90°，

在△APQ與△ABC中，∠AQP=∠ACB，∠A=∠A，

∴△APQ∽△ABC，

∴，

∴，

∴當點在上運動時，；

（2）根據題意可知AP=5t，

∴PC=15-5t，

∵關于點的對稱點為，

∴PC=CD，

∴PD=2PC=30-10t，

當為菱形時，即PQ=PD時，

①當點P在AC上時，（），

解得；

②當點P在BC上時，PB=35-5t，PC=5t-15，PD=10t-30，

在△BPQ與△BAC中，∠BQP=∠BCA=90°，∠B=∠B，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，

∴，

∴當點P在BC上時，，

解得；

（3）①當點P在AC上時，即時，如圖，作QH⊥AC于點H，

由（1）（2）可知AB=25，△APQ∽△ABC ，AP=5t，PQ=4t，PC=15-5t，PD=30-10t，

∴，

∴AQ=3t，

∵，

∴，

∴；

②當點P在BC上時，即時，如圖，作QF⊥BC于點F，

由（2）可知AB=25，△BPQ∽△BAC，PB=35-5t，PC=5t-15，PD=10t-30，PQ=3（7-t），

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（4）結合（3）①當點P在AC上時，此時，如下圖，

當恰好在AC上時，此時根據對稱的性質和平行四邊形的性質，可知四邊形與四邊形是平行四邊形，所以，又因為AP=5t，所以有，解得，所以此時t的取值范圍；

②當點P在BC上時，此時時，如下圖，

當恰好在BC上時，此時根據對稱的性質和平行四邊形的性質，可知四邊形與四邊形是平行四邊形，所以，又因為PC=5t-15，PD=10t-30，，所以有，解得，所以此時t的取值范圍.