Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，D為圓上一點，連CD，且DC²=CB•CA
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）AE⊥CD交CD的延長線于點E，若tanA=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，AE=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD、DA、DB，由DC²=CB•CA，易證得△DCB∽△ACD，又由AB是⊙O的直徑，繼而可求得∠BDC+∠ODB=90°，則可證得結論；
（2）由tanA=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，AE=6，可求得CE的長，繼而求得AC的長，然后由OD∥AE，可得$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OC}{AC}$，則可求得答案．

解答 證明：（1）連接OD、DA、DB，
∵DC²=CB•CA，
∴$\frac{DC}{CA}$=$\frac{CB}{CD}$，
又∵∠DCB=∠ACD，
∴△DCB∽△ACD，
∴∠BDC=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠BDC+∠ODB=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切線；

（2）在Rt△ACE中，tanA=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CE}{6}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴CE=2$\sqrt{7}$，
在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=8，
∵OD∥AE，
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{r}{6}$=$\frac{8-r}{8}$，
解得：r=$\frac{24}{7}$，
∴⊙O的直徑為$\frac{48}{7}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、切線的判定、勾股定理以及三角函數等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．