Question

探究：如圖①，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點E．若AE=10，求四邊形ABCD的面積．
應用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于點E．若AE=19，BC=10，CD=6，則四邊形ABCD的面積為______．

Answer 1

【答案】分析：探究：過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，先判定四邊形AFCE為矩形，根據矩形的四個角都是直角可得∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD，再利用“角角邊”證明△AFB和△AED全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AF，從而得到四邊形AFCE是正方形，然后根據正方形的面積公式列計算即可得解；
應用：過點A作AF⊥CD交CD的延長線于F，連接AC，根據同角的補角相等可得∠ABC=∠ADF，然后利用“角角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=AE，再根據S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD列式計算即可得解．
解答：探究：如圖①，過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，
∵AE⊥CD，∠BCD=90°，
∴四邊形AFCE為矩形，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=90°，
∵∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∵在△AFB和△AED中，
，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AF=AE，
∴四邊形AFCE為正方形，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AFCE}=AE²=10²=100；

應用：如圖，過點A作AF⊥CD交CD的延長線于F，連接AC，
則∠ADF+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AF=AE=19，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=BC•AE+CD•AF
=×10×19+×6×19
=95+57
=152．
故答案為：152．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，（1）作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵；（2）作輔助線構造出全等三角形并把四邊形分成兩個三角形是解題的關鍵．