Question

正方形ABCD中，E、F分別在邊AD，AB上，且AE=BF=

1

3

AB，EF與AC交于點P．
（1）求EF：AE的值；
（2）設AB=x，四邊形BCPF的面積為y，求y關于x的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）欲求EF：AE的值，由題知EF、AE均與AB相關，可以先求出EF=

5

3

AB，AE=BF=

1

3

AB，再求值；
（2）AB=x，四邊形BCPF的面積為y，欲求y關于x的函數解析式，可以通過圖形△APF、△APE、△AEF、△ABC、正方形ABCD相互間的面積進行轉換得出．

解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∵AE=BF=

1

3

AB，
∴AF=

2

3

AB，
∴EF=

5

3

AB，
∴EF：AE=

5

：1，
則EF：AE的值為

5

；

（2）過E、F點作EG⊥AC于G，FH⊥AC于H，
∵S_△APF=2S_△APE；S_△APE+S_△APF=S_△AEF，
∴S_△APF=

2

3

S_△AEF，
∴S_△AEF=AE•AF÷2=

1

3

AD×

2

3

AB÷2=

1

9

x²，
∴S_{正方形ABCD}y=S_△ABC-S_△AFP=

1

2

S_{正方形ABCD}-

2

27

S_{正方形ABCD}=

23

54

x²．

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質，考查了相似三角形的性質及勾股定理；運用的是相似三角形的相似比，三角形，正方形的面積計算公式，含線段間的相等關系．