Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x（s）．
（1）求x為何值時，PQ⊥AC；
（2）設△PQD的面積為y（cm²），當0＜x＜2時，求y與x的函數關系式；
（3）當0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積；
（4）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系，請寫出相應位置關系的x的取值范圍（不要求寫出過程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據30度的直角三角形的性質列方程求解；
（2）首先畫出符合題意的圖形，再根據路程=速度×時間表示出BP，CQ的長，根據等邊三角形的三線合一求得PD的長，根據30度的直角三角形的性質求得PD邊上的高，再根據面積公式進行求解；
（3）根據三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．根據題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據平行線等分線段定理即可證明；
（4）根據（1）中求得的值即可分情況進行討論．
解答：解：（1）當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC，
當Q在AC上時，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=；

（2）y=-x²+x，
如圖，當0＜x＜2時，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QN⊥BC于N；
∵∠C=60°，QC=2x，
∴QN=QC×sin60°=x；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=BC=2，
∴DP=2-x，
∴y=PD•QN=（2-x）•x=-x²+x；

（3）當0＜x＜2時，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
∴NC=x，
∴BP=NC，
∵BD=CD，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面積；

（4）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，
當x=或時，以PQ為直徑的圓與AC相切，
當0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．
點評：此題綜合運用了等邊三角形的性質、直角三角形的性質以及直線和圓的位置關系求解．解題的關鍵是用動點的時間x和速度表示線段的長度，本題有一定的綜合性，難度中等．