Question

（2002•益陽）已知：如圖，?ABCD的對角線AC的垂直平分線與AC、BC、AD別相交于O、F、E三點．求證：四邊形AFCE是菱形．

Answer 1

【答案】分析：由于知道了EF垂直平分AC，因此只要證出AFCE是平行四邊形即可得出AFCE是菱形的結論．可通過證三角形ABF和CED全等，來得出四邊形AECF的兩組對邊相等進而得出四邊形AECF是平行四邊形，然后再根據上面所說的步驟即可得出本題的結論．
解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，即AE∥FC．
∴∠OAE=∠OCF．
∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
∵EF⊥AC于O，
∴平行四邊形AFCE是菱形．
點評：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．