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已知:如圖,在正方形ABCD中,點E、F分別在BC和CD上,AE=AF.
(1)求證:BE=DF;
(2)連接AC交EF于點O,延長OC至點G,使OG=OA,連接EG、FG.判斷四邊形AEGF是什么特殊四邊形?并證明你的結論.

【答案】分析:(1)根據正方形的性質得出∠D=∠B=90°,AB=AD,根據HL證出Rt△ABE≌Rt△ADF即可;
(2)根據Rt△ABE≌Rt△ADF,推出∠BAE=∠DAF,推出∠EAC=∠FAC,根據三線合一得出垂直平分EF,即可求出答案.
解答:證明:(1)∵正方形ABCD,
∴∠D=∠B=90°,AB=AD=BC=CD,
在Rt△ABE與Rt△ADF中,

∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF.

(2)四邊形AEGF是菱形.
證明:∵△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠BAC=45°,
∴∠EAC=∠FAC,
又∵AE=AF,
∴AO垂直平分EF(三線合一定理),
∴OE=OF,
又∵OG=OA,
∴四邊形AEGF是平行四邊形,
∵AE=AF,
∴平行四邊形AEGF是菱形.
點評:本題主要考查對正方形的性質,平行四邊形的判定,菱形的判定,平行線分線段成比例定理,全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握,能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網已知:如圖,在正方形ABCD中,E是CB延長線上一點,EB=
12
BC,如果F是AB的中點,請你在正方形ABCD上找一點,與F點連接成線段,并說明它和AE相等的理由.
解:連接
 
,則
 
=AE.

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精英家教網已知:如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE于點P.若AE=AP=1,PB=
5
.下列結論:
①△APD≌△AEB;
②點B到直線AE的距離為
2

③EB⊥ED;
④S△APD+S△APB=1+
6

⑤S正方形ABCD=4+
6
.其中正確結論的序號是(  )
A、①③④B、①②⑤
C、③④⑤D、①③⑤

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精英家教網已知:如圖,在正方形ABCD中,P是BC上的點,且BP=3PC,Q是CD的中點.△ADQ與△QCP是否相似?
為什么?

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已知:如圖,在正方形ABCD中,AB=8,點E在邊AB上點,CE的垂直平分線FP 分別交AD精英家教網、CE、CB于點F、H、G,交AB的延長線于點P.
(1)求證:△EBC∽△EHP;
(2)設BE=x,BP=y,求y與x之間的函數解析式,并寫出定義域;
(3)當BG=
74
時,求BP的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是AD、CD的中點.
(1)線段AF與BE有何關系.說明理由;
(2)延長AF、BC交于點H,則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上.說明理由.

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