Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．
（1）求證：BE=DF；
（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點G，使OG=OA，連接EG、FG．判斷四邊形AEGF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質得出∠D=∠B=90°，AB=AD，根據HL證出Rt△ABE≌Rt△ADF即可；
（2）根據Rt△ABE≌Rt△ADF，推出∠BAE=∠DAF，推出∠EAC=∠FAC，根據三線合一得出垂直平分EF，即可求出答案．
解答：證明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠D=∠B=90°，AB=AD=BC=CD，
在Rt△ABE與Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．

（2）四邊形AEGF是菱形．
證明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，
∴AO垂直平分EF（三線合一定理），
∴OE=OF，
又∵OG=OA，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∵AE=AF，
∴平行四邊形AEGF是菱形．
點評：本題主要考查對正方形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．