Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，AD的中垂線分別交AB、BC的延長線于點F、E
求證：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．

Answer 1

【答案】分析：（1）由中垂線的性質知，DE=AE，由等邊對等角知，∠EAD=∠EDA
（2）由中垂線的性質知，FD=FA?∠FDA=∠FAD，由AD平分∠BAC?∠FAD=∠DAC，∠FDA=∠DAC?DF∥AC
（3）由三角形的外角與內角的關系知，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，而∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠DAC，故有∠EAC=∠B．
解答：證明：（1）∵EF是AD的中垂線，
∴DE=AE．
∴∠EAD=∠EDA．

（2）∵EF為中垂線，
∴FD=FA．
∴∠FDA=∠FAD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠DAC，
所以∠FDA=∠DAC．
∴DF∥AC．

（3）∵∠EAD=∠EDA，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，
∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD，
∵∠FAD=∠DAC，
∴∠EAC=∠B．
點評：本題利用了中垂線的性質，等邊對等角，三角形的外角與內角的關系求解．