Question

【題目】如圖，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為（2，4）；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．

①當t=時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；

②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+4x;(2) ①點P不在直線ME上,理由見解析；②S存在最大值,理由見解析.

【解析】分析：（1）設出拋物線的頂點式y=a（x-2）2+4，將原點的坐標代入解析式就可以求出a的值，從而求出函數的解析式．

（2）①由（1）中拋物線的解析式可以求出E點的坐標，從而可以求出ME的解析式，再將P點的坐標代入直線的解析式就可以判斷P點是否在直線ME上．

②設出點N（t，-（t-2）2+4），可以表示出PN的值，根據梯形的面積公式可以表示出S與t的函數關系式，從而可以求出結論．

詳解：（1）因所求拋物線的頂點M的坐標為（2，4），

故可設其關系式為y=a（x﹣2）2+4

又∵拋物線經過O（0，0），

∴得a（0﹣2）2+4=0，

解得a=﹣1

∴所求函數關系式為y=﹣（x﹣2）2+4，

即y=﹣x2+4x．

（2）①點P不在直線ME上．

根據拋物線的對稱性可知E點的坐標為（4，0），

又M的坐標為（2，4），

設直線ME的關系式為y=kx+b．

于是得，

解得

所以直線ME的關系式為y=﹣2x+8．

由已知條件易得，當t=時，OA=AP=，

∴P（，）

∵P點的坐標不滿足直線ME的關系式y=﹣2x+8．

∴當t=時，點P不在直線ME上．

②S存在最大值．理由如下：

∵點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上，

∴OA=AP=t．

∴點P，N的坐標分別為（t，t）、（t，﹣t2+4t）

∴AN=﹣t2+4t（0≤t≤3），

∴AN﹣AP=（﹣t2+4t）﹣t=﹣t2+3t=t（3﹣t）≥0，

∴PN=﹣t2+3t

（ⅰ）當PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，

∴S=DCAD=×3×2=3．

（ⅱ）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形

∵PN∥CD，AD⊥CD，

∴S=（CD+PN）AD= [3+（﹣t2+3t）]×2=﹣t2+3t+3=﹣（t﹣）2+

其中（0＜t＜3），由a=﹣1，0＜＜3，此時S最大=．

綜上所述，當t=時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積有最大值，這個最大值為．

說明：（ⅱ）中的關系式，當t=0和t=3時也適合．