Question

【題目】如圖，已知在等腰 Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB＝2，若將△ABC翻折，折痕EF分別交邊AC、邊BC于點E和點F（點E不與A點重合，點F不與B點重合），且點C落在AB邊上，記作點D．過點D作DK⊥AB，交射線AC于點K，設AD＝x，y＝cot∠CFE，

（1）求證：△DEK∽△DFB；

（2）求y關于x的函數解析式并寫出定義域；

（3）聯結CD，當＝時，求x的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）y＝,定義域：2－＜x＜ （3）x＝－1或3－．

【解析】

試題分析：（1）利用等腰直角三角形的性質證明∠EKD＝∠B，利用圖形折疊的性質得到∠EDK=∠FDB，即可得出結論；（2）利用△DEK∽△DFB，得出＝，從而y＝cot∠CFE＝cot∠DFE＝＝

代入化簡即可，定義域：2－＜x＜ （3）取線段EF的中點O，連接OC、OD，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OC=OD=EF．設EF與CD交點為H，根據軸對稱的性質可得EF⊥CD，且CH=DH=CD．由可得tan∠HOC=，從而得到∠HOC=60°,然后分①若點K在線段AC上和②若點K在線段AC的延長線上，兩種情況討論，得到y的值，再把y的值代入函數解析式就可求出x的值．

試題解析：（1）在等腰 Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A＝∠B=45°

又∵DK⊥AB,∴∠EKD＝45°∴∠EKD＝∠B

∵將△ABC翻折后點C落在AB邊上的點D處

∴∠EDF=∠C＝90°

∵∠KDA= ∠KDB=90°

∴∠EDK=90°－∠KDF, ∠FDB=90°－∠KDF

∴∠EDK=∠FDB

∴△DEK∽△DFB

(說明：點K在線段AC延長線上時等同于在線段上的相似的情況，故不必分類證明)

（2）∵△DEK∽△DFB，∴＝

∵∠DFE＝∠CFE，∴y＝cot∠CFE＝cot∠DFE＝＝

∵AD＝x，AB＝2，∴DK＝AD＝x，DB＝2－x，∴＝，∴y＝

定義域：2－＜x＜

（3）方法一：設CD與EF交于點H，CD被折痕EF垂直平分，CD=2 CH

∵＝，∴=，設CH=，EF=4

∵CD⊥EF,∠C＝90°

∴∠EHC＝∠CHF=90°, ∠ECH=∠CFH=90°－∠HCF

∴△ECH∽△CFH, 得：∴=, 即

設EH=a，則得： 解得：

當EH=k時，∠ECHspan>=∠CFE=30°,

∴y＝＝cot30°＝，∴x＝－1；

當EH=3k時，∠ECH=∠CFE=60°,

∴y＝＝cot60°＝，∴x＝3－；

經檢驗：x＝－1，x＝3－分別是原各方程的根，且符合題意；

綜上所述，x＝－1或x＝3－．

方法二：設CD與EF交于點H，取EF的中點O，聯結OC，

∴CH⊥EF，CH＝CD，CO＝EF．

∵＝，∴＝．

當0＜AD＜1時（如圖備一），在Rt△COH中，∠COH＝60°，

∴∠CFE＝30°，∴y＝＝cot30°＝，∴x＝－1；

當1＜AD＜2時（如圖備二），

在Rt△COH中，∠COH＝60°，

∴∠CFE＝60°，∴y＝＝cot60°＝，∴x＝3－．

經檢驗：x＝－1，x＝3－分別是原各方程的根，且符合題意；

綜上所述，x＝－1或x＝3－．