Question

【題目】已知點A，B在數軸上分別表示m，n，其中m＜n．

（1）填寫下表；

m	3	﹣6	﹣5
n	5	4	﹣4
A，B兩點的距離

（2）若A，B兩點的距離為d，則d與m，n的數量關系為　 　；

（3）若S＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+…+|x﹣2018|，求S的最小值，并寫出當S取最小值時x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2，10，1；（2）d＝|n﹣m|；（3）1088064．1010≤x≤1011

【解析】

（1）結合點在數軸上的位置進行計算；

（2）根據（1）即可發現規律：數軸上兩點間的距離等于表示兩個點的數的差的絕對值，或直接讓較大的數減去較小的數；

（3）利用S＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+…+|x﹣2018|是數軸上點x 與 3、4、5、…2018的距離和，進而得出當1010≤x≤1011 時，S最小求出即可．

（1）填寫下表；

m	3	﹣6	﹣5
n	5	4	﹣4
A，B兩點的距離	2	10	1

故答案為：2，10，1；

（2）d＝n﹣m，

故答案為：d＝n﹣m；

（3）根據絕對值的幾何意義，|x﹣a|的意義是數軸上表示數x的點到表示數a的點之間的距離．

s＝|x﹣3|

當x＝3時，s有最小值s＝0

s＝|x﹣3|+|x﹣4|

當3≤x≤4 時，s有最小值s＝4﹣3＝1

s＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|

當x＝4時，S有最小值S＝2

s＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+|x﹣6|

當4≤x≤5 時，S有最小值S＝（6﹣3）+（5﹣4）＝3+1＝4

s＝|x﹣3|+|x﹣4+|x﹣5|+|x﹣6|+|x﹣7|

當x＝5時，S有最小值S＝（7﹣3）+（6﹣4）+0＝4+2＝6，

…

根據觀察所得規律

|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+…+|x﹣2018|共有（2018﹣3）+1＝2016項

（2018+3）÷2＝1010.5，

∴1010≤x≤1011，

當1010≤x≤1011時，S有最小值，

S＝（2018﹣3）+（2017﹣4）+（2016﹣5）+…（1011﹣1010）

＝2015+2013+2011+…+1

＝（2015+1）×1008

＝1088064．