Question

【題目】如圖，點P是圓O直徑CA延長線上的一點，PB切圓O于點B，點D是圓上的一點，連接AB，AD，BD，CD，∠P=30°．

（1）求證：PB=BC；

（2）若AD=6，tan∠DCA=，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖，連接OB，根據切線的性質易得∠POB＝60°，再根據外角的性質求得∠PCB＝30°，則PB＝PC得證；（2）如圖過A點作AM⊥BD，根據圓周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ABD＝∠DCA，再根據銳角三角函數求出DM、AM的長，再由tan∠DCA＝求出BM的長，即可求出BD的長.

（1）如圖所示，連接OB.

∵PB是切線，∴∠OBP＝90°，

∴∠POB＝90°－∠P＝60°，

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠PCB＝∠POB＝30°，

∴∠P＝∠PCB，∴PB＝PC.

（2）如圖過A點作AM⊥BD，

∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ABD＝∠DCA，

∴DM＝ADcos30°＝3，AM＝ADsin30°＝3，

∵tan∠ABD＝tan∠DCA＝，

∴，

∴BM＝4，

∴BD＝BM＋DM＝4＋3.