Question

【題目】定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．

(1)如圖 1，等腰直角四邊形 ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.

圖 1

①若 AB＝CD＝1，AB∥CD，求對角線 BD 的長．

②若 AC⊥BD，求證：AD＝CD；

(2) 如圖 2，矩形 ABCD 的長寬為方程 －14x+40=0 的兩根，其中（BC >AB），點 E 從 A 點出發，以 1 個單位每秒的速度向終點 D 運動；同時點 F 從 C 點出發，以 2 個單位每秒的速度向終點 B 運動，當點 E、F 運動過程中使四邊形 ABFE 是等腰直角四邊形時，求 EF 的長．

圖 2

Answer 1

【答案】（1）①BD=；②證明見詳解；（2）或

【解析】

（1）①只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題；

②只要證明△ABD≌△CBD，即可解決問題；

（2）先解方程，求出AB和BC的長度，然后根據題意，討論當AB=AE，或AB=BF時，四邊形ABFE是等腰直角四邊形.當AB=AE=4時，連接EF，過F作FG⊥AE，交AE于點G，可得運動的時間為4s，可得CF=8，然后得到GE=2，利用勾股定理得到EF的長度；當AB=BF=4時，連接EF，過點E作EH⊥BF，交BF于點H ，可得CF=6，運動的時間為3s，可得AE=3，然后得到FH=1，利用勾股定理求得EF的長度.

解：（1）①∵AB=CD=1，AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB=BC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∵∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴BD=AC=；

②如圖1中，連接AC、BD．

∵AB=BC，AC⊥BD，

∴∠BAC=∠BCA，

∴∠ABD=∠CBD，

∵BD=BD，

∴△ABD≌△CBD，

∴AD=CD．

（2）由AB和BC的長度是方程－14x+40=0的兩根，則

解方程：－14x+40=0得，，

∵BC >AB，

∴AB=4，BC=10.

根據題意，當AB=AE和AB=BF時，四邊形ABFE是等腰直角四邊形；

當AB=AE時，如圖，連接EF，過F作FG⊥AE，交AE于點G：

∴AB=AE=4，四邊形ABFG是矩形，

∴運動的時間為：，

∴CF=，

∴BF=2=AG，

∴GE=2，GF=AB=4，

由勾股定理得：EF=；

當AB=BF時，如圖，連接EF，過點E作EH⊥BF，交BF于點H：

∴AB=BF=4，

∴CF=10-4=6，

則運動的時間為：，

∴AE=3，EH=AB=4

∴FH=4-3=1，

由勾股定理得：EF=；

故EF的長度為：或.