Question

二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點（﹣1，4），且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．

（1）求二次函數的表達式；

（2）點N是二次函數圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標．

Answer 1

解：（1）由題設可知A（0，1），B（﹣3，），

根據題意得：，解得：，

則二次函數的解析式是：y=﹣﹣x+1；

（2）設N（x，﹣x²﹣x+1），則M、P點的坐標分別是（x，﹣x+1），（x，0）．

∴MN=PN﹣PM=﹣x²﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x²﹣x=﹣（x+）²+，

則當x=﹣時，MN的最大值為；

（3）連接MN、BN、BM與NC互相垂直平分，

即四邊形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，

即﹣x²﹣x=，且（﹣x+1）²+（x+3）²=，解得：x=1，

故當N（﹣1，4）時，MN和NC互相垂直平分．