Question

觀察下列各式

1+ 1 3

=2

1 3

，

2+ 1 4

=3

1 4

，

3+ 1 5

=4

1 5

…
按照上述三個等式及其變化過程，
①猜想5

1 6

=

 

，

 

=15

1 16

；
②試猜想第n個等式為

 

；
③證明②式成立．

Answer 1

分析：①注意觀察左邊的被開方數是一個整數+分數，其分數的分子是1，分母比其整數大2．右邊的結果根號外的比左邊的整數大1，根號內的是左邊的分數．
②觀察給出的例子得出規律：

n+ 1 n+2

=(n+1)

1 n+2

（n≥1）．
③根據完全平方公式和二次根式的性質即可證明．

解答：解：①猜想 5

1 6

=

4+ 1 6

，

14+ 1 16

=15

1 16

；
②根據規律，可以表示為：

n+ 1 n+2

=（n+1）

1 n+2

，
③驗證如下：
左邊=

n2+2n+1 n+2

=

(n+1)2 n+2

=（n+1）

1 n+2

=右邊，等式成立；

點評：本題考查了完全平方公式和二次根式的性質．解答此類題目的關鍵是認真觀察題中式子的特點，找出其中的規律．本題的規律為：從1開始，一個數n加上n+2的倒數再開方等于n+1乘以n+2的倒數再開方．