Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，E為BC邊上一點(不與B、C重合)，D為AB延長線上一點且BD＝BE.點F、G分別為AE、CD的中點.

(1)求證：AE＝CD.

(2)求證：△BFG為等腰直角三角形.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)由已知條件可證明△ABE≌△CBD(SAS)，即可得出AE＝CD；

(2)由全等三角形的性質得出AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，由直角三角形斜邊上的中線性質得出BF＝AE＝AF，BG＝CD＝CG，得出BF＝BG，∠BAE＝∠ABF，∠BCD＝∠CBG，證出∠ABF＝∠CBG，得出∠FBG＝∠ABC＝90°，即可得出結論.

證明：(1)∵∠ABC＝90°，

∴∠CBD＝90°，

在△ABE和△CBD中，

∴△ABE≌△CBD(SAS)，

∴AE＝CD；

(2)由(1)得：△ABE≌△CBD，

∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，

∵∠ABE＝∠CBD＝90°，點F、G分別為AE、CD的中點，

∴BF＝AE＝AF，BG＝CD＝CG，

∴BF＝BG，∠BAE＝∠ABF，∠BCD＝∠CBG，

∴∠ABF＝∠CBG，

∴∠FBG＝∠ABC＝90°，

∴△BFG為等腰直角三角形.