Question

已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB的中點，CM的延長線交⊙O于點E，且EM＞MC，連接DE，DE=．
（1）求證：AM•MB=EM•MC；
（2）求EM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據相交弦定理可得AM•MB=EM•MC；
（2）根據M是OB中點，再結合⊙O半徑等于4，易求BM、AM，而CD是直徑，于是∠CED=90°，根據勾股定理易求CE，再結合（1）中AM•MB=EM•MC，設EM=x，易得6×2=x•（7-x），解關于x的方程可得x=3或4，而EM＞MC，從而可求EM=4．
解答：證明：（1）∵AB、CE是⊙O內的兩條相交弦，
∴AM•MB=EM•MC；
（2）∵M是OB中點，圓半徑R=4，
∴OM=MB=2，
∴AM=6，
∵CD是直徑，
∴∠CED=90°，
∴CE²=CD²-DE²，
∴CE==7，
設EM=x，6×2=x•（7-x），
解得x=3或x=4，
∵EM＞MC，
∴EM=4．
點評：本題考查了相交弦定理、勾股定理、解一元二方程，解題的關鍵是注意先求出BM，以及CE．