Question

（2010•江干區模擬）如圖，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連接BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連接BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續，可以依次得到點D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n．則（ ）

A．S_n=S_△ABC
B．S_n=S_△ABC
C．S_n=S_△ABC
D．S_n=S_△ABC

Answer 1

【答案】分析：首先證明構成等差數列，而=2，故=2+1•（n-1）=n+1，則可以得到△ABC與△BDnEn面積之間的關系，從而求解．
解答：解：∵S_△BDnEn=S_△CDnEn•CEn，
∴DnEn=D₁E₁•CEn•，而D₁E₁=BC，CE1=AC，
∴S_△BDnEn=•BC••CEn=•CEn=BC•AC[]²
=S_△ABC•[]²，
延長CD₁至F使得D₁F=CD₁，
∴四邊形ACBF為矩形．
∴===，
對于=，
兩邊均取倒數，
∴=1+，
即是-=1，
∴構成等差數列．
而=2，
故=2+1•（n-1）=n+1，
∴S_△BDnEn=S_△ABC•[]²，
則S_n=S_△ABC．
故選D．
點評：本題主要考查了三角形面積的計算，正確證明構成等差數列是解題關鍵．