Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD．點E、F分別在AB、AD上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．下列結論：
①△AED≌△DFB；②S_{四邊形BCDG}=CG²；③若AF=2DF，則BG=6GF．
其中正確的結論（ ）

A．只有①②
B．只有①③
C．只有②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：①易證△ABD為等邊三角形，根據“SAS”證明△AED≌△DFB；
②證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點B、C、D、G四點共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°．過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}，易求后者的面積．
③過點F作FP∥AE于P點．
根據題意有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF．
解答：解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點B、C、D、G四點共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．   
∴∠BGC=∠DGC=60°．
過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN，
則△CBM≌△CDN，（HL）
∴S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}．
S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=CG，CM=CG，
∴S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG=2××CG×CG=CG²．
③過點F作FP∥AE于P點．                  
∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即 BG=6GF．
故選D．
點評：此題綜合考查了全等三角形的判定和性質、平行線分線段成比例、不規則圖形的面積計算方法等知識點，綜合性較強，難度較大．