Question

已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于E，

BC

=

BD

，BF⊥AB與弦AD的延長線相交于點F．
（1）求證：CD∥BF；
（2）連接BC，若AD=6，tanC=

7

3

，求⊙O的半徑及弦CD的長．

Answer 1

分析：（1）由垂徑定理即可推出AB⊥CD，再由題意即可推出CD∥BF；
（2）由AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，再由∠A=∠C，推出

BD

AD

=tanA=tanC=

7

3

，根據AD=6，即可求出BD的長度，根據AB=8，推出圓的半徑，即可求出DE的長度，然后由直徑AB平分

CD

，即可推出CD=2DE=3

7

．

解答：解：（1）證明：∵直徑AB平分

CD

，
∴AB⊥CD，
∵BF⊥AB，
∴CD∥BF，

（2）連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，tanA=

BD

AD

，
在⊙O中，∵∠A=∠C，
∴

BD

AD

=tanA=tanC=

7

3

，
∵AD=6，
∴BD=

7

3

AD=

7

3

×6=2

7

，
在Rt△ADB中，
∴AB=8，
∴⊙O的半徑為 

1

2

AB=4，
在Rt△ADB中，∵DE⊥AB，
∴AB•DE=AD•BD，
∴DE=

6×2 7

8

=

3

2

7

，
∵直徑AB平分

CD

，
∴CD=2DE=3

7

．

點評：本題主要考查垂徑定理，解直角三角形，圓周角定理等知識點，關鍵在于熟練的綜合運用各性質定理，認真的進行計算，采用數形結合的思想進行正確的分析．