Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）連接OC交DE于點F，若OF=CF，證明：四邊形OECD是平行四邊形；
（3）若

CF

OF

=n，求tan∠ACO的值．

Answer 1

分析：（1）證出DE經過半徑的外端且垂直于半徑即可；
（2）利用中位線定理證出OE=CD，OE∥CD，即可根據平行四邊形的性質證明四邊形OECD是平行四邊形；
（3）作OH⊥AC，構造相應的直角三角形，利用三角函數的定義解答即可．

解答：（1）證明：連接BD，OD，
∵AB是直徑，
∴BD⊥AC．
∵E是BC的中點，
∴EB=EC=DE，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
∴∠ODE=∠ABC=90°．
∴DE是⊙O的切線．

（2）證明：連接OE，
∵E是BC的中點，OF=CF，
∴EF是△OBC的中位線．
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

CD

AC

=

CE

CB

=

1

2

．
∵AO=BO，E是BC的中點，
∴OE∥AC且

OE

AC

=

1

2

．
∴OE=CD，
∴四邊形OECD是平行四邊形．

（3）解：作OH⊥AC，垂足為H，不妨設OE=1，
∵

CF

OF

=n，△OEF∽△CDF，
∴CD=n，
∵OE=1，
∴AC=2．
∴AD=2-n，由△CDB∽△BDA，得BD²=AD•CD．
∴BD²=n•（2-n），BD=

2n-n2

．
∴OH=

1

2

BD=

2n-n2

2

，而CH=n+

2-n

2

=

2+n

2

．
∴tan∠ACO=

OH

CH

=

2n-n2

n+2

．

點評：本題考查了切線的判定、平行四邊形的判定和銳角三角函數的定義，相似三角形的性質在解題中起到了至關重要的作用．