Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=8cm，以點P為圓心，以3cm長為半徑的圓在直線BC上滑動．
（1）如圖，連接PA，若PA=PB時，請你判斷⊙P與直線AC的位置關系，并說明理由；
（2）當⊙P與直線AB的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形時，求PC的長；
（3）設PC=x，請你直接寫出⊙P與直線AB相交時x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ACP中，利用勾股定理即可得到一個關于PC的方程，解方程即可求解；
（2）分圓心P在線段BC上，和圓心P在線段CB的延長線上，兩種情況進行討論，設⊙P交AB于點E、F，過點P作PH⊥EF，垂足為H，由△BHP∽△BCA，可以得到對應邊的比相等，即可求得；
（3）根據相似三角形的性質，求得當直線與圓相交時x的值，根據直線與圓相交時，P到直線AB的距離小于半徑即可確定．
解答：解：（1）在Rt△ACP中，
∵AC=4cm，BC=8cm，PA=PB
∴PC²+AC²=PA²
即：PC²+16=（8-PC）²…（1分）
解得：PC=3
∴⊙P與直線AC相切…（2分）

（2）分兩種情況討論：
①當圓心P在線段BC上，設⊙P交AB于點E、F
過點P作PH⊥EF，垂足為H，…（3分）
由△BHP∽△BCA得…（4分）
把AC=4，AB=4，PH=代入比例式得：PB=…（5分）
∴PC=8-…（6分）
②當圓心P在線段CB的延長線上時：
同理可得：PB=…（7分）
∴OP=8+…（8分）
∴當PC=8-或8+時，以⊙P與直線AB的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形．

（3）⊙P與直線AB相交時x的取值范圍為：．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系，以及相似三角形的判定與性質，正確理解△BHP∽△BCA是關鍵．