Question

7．如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作⊙O得切線，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，G是AD的中點(diǎn)，連接CG并延長(zhǎng)與BE相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．
（1）求證：BF=EF；
（2）求證：PA是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，從而可以確定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中點(diǎn)，就可得出結(jié)論BF=EF．
（2）要證PA是⊙O的切線，就要證明∠PAO=90°，連接AO，AB，根據(jù)（1）的結(jié)論和BE是⊙O的切線和直角三角形的等量代換，就可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵BC是⊙O的直徑，BE是⊙O的切線，
∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴$\frac{BF}{DG}$=$\frac{CF}{CG}$，$\frac{EF}{AG}$=$\frac{CF}{CG}$，
∴$\frac{BF}{DG}$=$\frac{EF}{AG}$，
∵G是AD的中點(diǎn)，
∴DG=AG，
∴BF=EF．
（2）連結(jié)AO，AB，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°．
在Rt△BAE中，由（1）知F是斜邊BE的中點(diǎn)，
∴AF=FB=EF，
∴∠FBA=∠FAB  
 又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO
∵BE是⊙O的切線，
∴∠EBO=90°
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°
∴PA是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．