Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑的⊙O交斜邊AB于E，OD∥AB．求證：①ED是⊙O的切線；②2DE²=BE•OD．

Answer 1

【答案】分析：①連接OE，由OD與AB平行得到一對同位角相等，一對內錯角相等，再由半徑相等，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，利用SAS得出三角形OCD與三角形OED全等，由全等三角形對應角相等及垂直的定義得到ED垂直于OE，即ED為圓O的切線；
②由第一問的全等得到CD=ED，再由BC為圓的切線，BA為圓的割線，利用切割線定理列出關系式，根據O為AC中點，OD平行于AB，得到D為BC中點，即OD為三角形ABC的中位線，利用三角形中位線定理得到AB=2OD，BC=2CD=2DE，代換即可得證．
解答：證明：①連接OE，
∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A，∠DOE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∴∠COD=∠DOE，
在△COD和△EOD中，
，
∴△COD≌△EOD（SAS），
∴∠OCD=∠OED=90°，
∴DE⊥OE，
則DE為圓O的切線；
②由△COD≌△EOD，得到CD=ED，
∵BC為圓O的切線，BA為圓O的割線，
∴BC²=BE•BA，
∵O為AC的中點，OD∥AB，
∴D為BC的中點，即OD為△ABC的中位線，
∴BA=2OD，BC=2CD=2DE，
則4DE²=BE•2OD，即2DE²=BE•OD．
點評：此題考查了切線的判定，切割線定理，全等三角形的判定與性質，中位線定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．