Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，若∠BAC＝45°．

（1）求證：OE＝BC；

（2）將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H，若BD＝6，CD＝4，求AD的長；

（3）作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，在（2）的條件下求．

Answer 1

【答案】（1）OE＝BC，見解析；（2）12；（3）

【解析】

（1）∠根據圓周角定理得到∠BOC＝90°，根據等腰直角三角形的性質即可得到結論；

（2）根據折疊的性質得到∠G＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∠GAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，AG＝AF，推出四邊形AGHF是正方形，根據勾股定理即可得到結論；

（3）如圖，由題意直接根據勾股定理和垂徑定理即可得到結論．

解：（1）∠BAC＝45°，

∴∠BOC＝90°，

∵OB＝OC，OE⊥BC，

∴OE＝BC；

（2）∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，

∴∠G＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∠GAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，AG＝AF，

∴∠GAF＝90°，

∴四邊形AGHF是正方形，

∴∠H＝90°，

∵BD＝6，CD＝4，

∴BG＝BD＝6，CF＝CD＝4，BC＝10，

設AD＝x，

∴AG＝AF＝GH＝HF＝x，

∴BH＝x﹣6，HC＝x﹣4，

∵BH2+CH2＝CB2，

∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，

∴x＝12，（負值舍去），

∴AD＝12；

（3）如圖，

∵AG＝AF＝AD＝12，BG＝6，CF＝4，

∴AB＝＝＝6，AC＝＝＝4，

∵OM⊥AB于M，ON⊥AC，

∴BM＝AB＝3，CN＝AC＝2，

∵OB＝OC＝BC＝5，

∴OM＝＝＝，ON＝＝＝，

∴＝．