Question

（1）試用一元二次方程的求根公式，探索方程ax+bx+c=0（a≠0）的兩根互為倒數的條件是______；
（2）如圖．邊長為2的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點A順時針旋轉45°，則這兩個正方形重疊部分的面積是______；
（3）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，動點P從點B出發，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運動，動點Q從點A出發，在線段AD上以每秒1cm的速度向點D運動，點P，Q分別從點B，A同時出發，當點Q運動到點D時，點P隨之停止運動，設運動的時間為t（秒）．
①當t為何值時，四邊形PQDC是平行四邊形；
②當t為何值時，以C，D，Q，P為頂點的梯形面積等于60cm²？
③是否存在點P，使△PQD是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：
（1）若方程兩根互為倒數則兩根之積為1，故a=c；

（2）根據旋轉的性質，兩個正方形重疊部分的面積為三角形ABE面積的2倍，
由題意可知，BE=2-2，AB=2，根據三角形面積公式可得三角形ABE的面積為2-2，
故兩個正方形重疊部分的面積為．

（3）①∵四邊形PQDC是平行四邊形，
∴DQ=CP，
∵DQ=AD-AQ=16-t，CP=21-2t，
∴16-t=21-2t，
解得t=5，
當t=5秒時，四邊形PQDC是平行四邊形，
②若點P，Q在BC，AD上時，
=60即，
解得t=9（秒），
若點P在BC延長線上時，則CP=2t-21，
∴
解得t=15（秒），
∴當t=9或15秒時，以C，D，Q，P為頂點的梯形面積等60cm²；
③當PQ=PD時，
作PH⊥AD于H，則HQ=HD，
∵QH=HD=QD=（16-t），
由AH=BP得，
解得秒，
當PQ=QD時QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，
∵QD²=PQ²=12²+t²，
∴（16-t）²=12²+t²解得（秒），
當QD=PD時DH=AD-AH=AD-BP=16-2t，
∵QD²=PD²=PH²+HD²=12²+（16-2t）²，
∴（16-t）²=12²+（16-2t）²，
即3t²-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程無實根，
綜上可知，當秒或（秒）時，△PQD是等腰三角形．
分析：（1）兩根互為倒數，兩根之積為1，根據根與系數的關系求出條件；
（2）根據旋轉的性質可知，兩個正方形重疊部分的面積為三角形ABE面積的2倍，根據三角形面積公式求出重疊面積；
（3）①若四邊形PQDC是平行四邊形，則要DQ=CP，然后求出t，
②若點P，Q在BC，AD上時，根據梯形面積公式求出t，若點P在BC延長線上時，求出另一種情況的t；
③當PQ=PD時作PH⊥AD于H，則HQ=HD，求得t，當PQ=QD時QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，根據數量關系求出t，當QD=PD時DH=AD-AH=AD-BP=16-2t，再求出滿足題意的t．
點評：本題主要考查的知識點有一元二次方程根與系數的關系，等腰三角形的性質和旋轉的性質，綜合性較強．