Question

【題目】如圖，是的直徑，點在上，，FD切于點，連接并延長交于點，點為中點，連接并延長交于點，連接，交于點，連接．

（1）求證：；

（2）若的半徑為，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

(1)利用圓周角定理及，求得∠ABC=30°，利用切線的性質求得∠D=30°，根據直角三角形30度角的性質從而證出；

(2)先證得△OAC為等邊三角形，求得的長，過點C作CM⊥AO于點M，證出△CME∽△FBE，求出，利用勾股定理求出，利用面積法即可求出．

(1) 連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，，
∴∠ACB=90°，∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∴，
∵BD切于點，
∴AB⊥DB，
∴∠D=90∠BAD=9060°=30°，

∴AD=2AB，

∴AD=4AC，

∴；

(2) 連接OC，過點C作CM⊥AO于點M，

∵∠BAC=60°，OA=OC，

∴△OAC為等邊三角形，

∴AC=OA=OC=2，OM=MA=1，

∵CM⊥AO，

∴OM=MA==1，

在中， ，，

∴，

∵點為中點，

∴，

∴，

∵BF切于點，
∴AB⊥FB，
∴∠FBE=90，

∵∠FEB=∠CEM，

∴，

∴，即，

∴，

在中，，，，

∴，

∵AB是⊙O的直徑
∴∠AGB=90°，

∴BG⊥AF，

∵，

∴，

∴