Question

如圖，在△AFC中，AF=AC，B是CF的中點(diǎn)，AH平分∠CAE，作CD⊥AH于D．
（1）證明：四邊形ABCD是矩形．
（2）若BD交AC于O，證明：OB∥AF且OB=AF．
（3）若使四邊形ABCD是正方形，需添加一個(gè)條件，請(qǐng)直接寫出該條件．

Answer 1

證明：（1）在△AFC中，
∵AF=AC，
∴△ACF是等腰三角形，
∵B是CF的中點(diǎn)，
∴AB⊥FC，∠FAB=∠CAB，
∵AH是△AFC外角∠CAE的平分線，
∴∠EAH=∠CAH，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=180°=90°，
又∵AB⊥FC，CD⊥AH，
∴∠ABC=∠CDA=90°，
∴四邊形ABCD為矩形；

（2）∴∠EAC=∠AFC+∠ACF，AH是∠CAE的平分線，∠AFC=∠ACF，
∴∠EAH=∠AFC，
∴AD∥FB，
∵FB=BC，AD=BC，
∴AD=FB，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∴BD∥AF且BD=AF，
∴OB=AF，
∴OB∥AF且OB=AF；

（3）給出正確條件即可．
例如，當(dāng)AB=FC時(shí)，四邊形ABCD是正方形．
∵B是CF的中點(diǎn)，
∴BC=FC，
又∵AB=FC，
∴BC=AB，
又∵（1）四邊形ABCD為矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
分析：（1）根據(jù)矩形的有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，已知AF=AC，CD⊥AH，所以求證∠BAD=90°，可以證明四邊形ADCE為矩形；
（2）根據(jù)∠EAC=∠AFC+∠ACF，AH是∠CAE的平分線，∠AFC=∠ACF，可以求證AD∥FB，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，B是CF的中點(diǎn)，所以有AD=FB，可以證明四邊形AFBD是平行四邊形，由三角形中位線定理可以證明OB∥AF且OB=AF；
（3）給出正確條件即可．我們可以假設(shè)當(dāng)AB=FC，由已知可得，BC=FC，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得四邊形ADCE為正方形．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了對(duì)矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．有利于學(xué)生思維能力的訓(xùn)練．