Question

（2010•百色）如圖1，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，垂足為B，AC交⊙O于點D．
（1）用尺規作圖：過點D作DE⊥BC，垂足為E（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（2）在（1）的條件下，求證：△BED∽△DEC；
（3）若點D是AC的中點（如圖2），求sin∠OCB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據過直線外一點作已知直線的垂線的方法進行求作；
（2）根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ADB=90°，則∠CDB=∠ADB=90°，再根據等角的余角相等，證明∠C=∠EDB，從而根據兩角對應相等，就可證明三角形相似；
（3）在Rt△OBC中，只要找到OB與OC的關系即可．由于∠ADB=90°，D是AC的中點，所以BD垂直平分AC，則BC=AB=2OB；設OB=k，則BC=2k，根據勾股定理求得OC的長，從而求解．
解答：（1）解：如圖，


（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∴∠CDE+∠EDB=90°．
又∵DE⊥BC，
∴∠CED=∠DEB=90°，
∴∠CDE+∠C=90°．
∴∠C=∠EDB．
∴△BED∽△DEC．

（3）解：∵∠ADB=90°，D是AC的中點，
∴BD垂直平分AC．
∴BC=AB=2OB．
設OB=k，則BC=2k，
∴OC==k．
∴sin∠OCB===．
點評：此圖綜合考查了作垂線的方法、直徑所對的圓周角是直角、相似三角形的判定、線段垂直平分線的性質、勾股定理以及銳角三角函數的求法．