Question

如圖，直角梯形OABC的直角頂點是坐標原點，邊OA,OC分別在x軸，y軸的正半軸上.OA∥BC，D是BC上一點，，AB=3, ∠OAB=45°，E，F分別是線段OA,AB上的兩個動點，且始終保持∠DEF=45°，設OE=x，AF=y，則y與x的函數關系式為  ▲  ；如果△AEF是等腰三角形．△AEF沿EF對折得△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積  ▲  .

 

 

Answer 1

         1、  、1、

 

解析:

解：過B作BM⊥x軸于M；

Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；則AM=BM=；

∴BC=OA-AM=4-=，CD=BC-BD=；

連接OD；如圖（1），由（1）知：D在∠COA的平分線上，則∠DOE=∠COD=45°；

又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，

∴OD=AB=3

由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°，

∴∠1=∠2，

∴△ODE∽△AEF，

∴，即：，

 

∴y與x的解析式為：，

 

當△AEF為等腰三角形時，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3種情況；

 

①當EF=AF時，如圖（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；

 

∴△AEF為等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），

 

B在A′F上（A′F⊥EF）

∴△A′EF與五邊形OEFBC重疊的面積為四邊形EFBD的面積；

∵，

∴，

三角形AEF的面積==

∴四邊形BDEF的面積=四邊形AEDB的面積-三角形AEF的面積==

②當EF=AE時，如圖（3），此時△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A′EF面積．

∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，

 

∴四邊形DEAB是平行四邊形

 

∴AE=DB=，

 

∴三角形的面積=三角形AEF的面積==1

③當AF=AE時，如圖（4），四邊形AEA′F為菱形且△A′EF在五邊形OEFBC內．

∴此時△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A′EF面積．

由（2）知△ODE∽△AEF，則OD=OE=3，

∴AE=AF=OA-OE=，

過F作FH⊥AE于H，則，

∴三角形的面積=，

綜上所述，△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為或1或．

故答案為：，或1或．