Question

（12分）在中， 分別為所對的邊，我們稱關于的一元二次方程為“的☆方程”.根據規定解答下列問題：
（1）“的☆方程”的根的情況是   （填序號）；①有兩個相等的實數根；②有兩個不相等的實數根；③沒有實數根.
（2）如圖，為⊙的直徑，點為⊙上的一點，的平分線交⊙于點，
求“的☆方程”的解；

（3）若是“的☆方程”的一個根，其中均為正整數，且，求：①求的值；②求“的☆方程”的另一個根.

Answer 1

（1）②；（2）；（3）①；②

解析試題分析：（1）判斷一元二次方程根的情況的依據是根的判別式，因為為三角形三邊，故恒成立，故原方程必有兩個不等實根；（2）圖中的關鍵信息是直徑和角平分線，得到是等腰直角三角形后，適當設值代入即可求出方程的解；（3）根據方程根的定義將代入原方程，得到，再結合得出的確切值，進而求出的值，代入求方程的解.本小題中求的確切值是難點也是解題關鍵.
試題解析：（1）②；
（2）由圖知，為直徑        平分
   和都是所對的圓周角
    為等腰直角三角形  
不妨設，，故原方程化為  
解得  
“的☆方程”的解為；
（3）①將代入原方程，得       
         且均為正整數  能被整除         
②    （不能構成三角形，舍）或  
原方程為    解得      方程另一根為.
考點：1.一元二次方程根的判別式；2.圓的性質；3.一元二次方程與不等式.