Question

【題目】如圖，在平面直角坐標中，點O是坐標原點，一次函數y1＝kx+b與反比例函數y2＝（x＞0）的圖象交于A（1，m）、B（n，1）兩點．

（1）求直線AB的解析式及△OAB面積；

（2）根據圖象寫出當y1＜y2時，x的取值范圍；

（3）若點P在x軸上，求PA+PB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）S△OAB＝4；（2）x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞3；（3）PA+PB的最小值為2．

【解析】

（1）將A、B兩點的坐標代入反比例函數的解析式，求出m、n的值，然后將A、B的坐標代入一次函數解析式即可求出直線AB的解析式，進而求出點M、點N的坐標，根據依據S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON代入計算即可得出答案；

（2）結合函數圖象找出一次函數圖象在反比例函數圖象下方對應的自變量的取值范圍即可；

（3）作點A關于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于點P，則PA+PB的最小值等于BC的長，利用勾股定理即可得到BC的長．

解：（1）A（1，m）、B（n，1）兩點坐標分別代入反比例函數y2＝，可得

m＝3，n＝3，

∴A（1，3）、B（3，1），

把A（1，3）、B（3，1）代入一次函數y1＝kx+b，可得

，

解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4．

∴M（0，4），N（4，0）．

∴S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝4．

（2）從圖象看出0＜x＜1或x＞3時，正比例函數圖象在反比例函數圖象的下方，

∴當y1＜y2時，x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞3．

（3）如圖，作點A關于x軸的對稱點C，連接BC交y軸于點P，則PA+PB的最小值等于BC的長，

過C作x軸的平行線，過B作y軸的平行線，交于點D，則

Rt△BCD中，BD＝4，CD＝2，BC＝＝＝．

∴PA+PB的最小值為．